Как написать корень кубический на клавиатуре

При помощи Microsoft Equation 3.0

Стоит сразу сказать, что данный способ для вставки знака корня в документ отлично подходит как для соответствия всем нормам, так и для применения его во всех версиях программы. А пользоваться мы будем инструментом под названием 3.0.

Для начала необходимо открыть интерфейс самой утилиты, для этого:

1. Перейдите во вкладку «Вставка».
2. В группе инструментов «Текст» нажмите по кнопке «Объекты».
3. В появившемся окне выберите «Microsoft Equation 3.0», который находится в списке «Тип объекта».
4. Нажмите кнопку «ОК».

После этого в месте где был установлен курсор, появится форма для заполнения

Обратите внимание также на то, что внешний вид «Ворда» довольно сильно поменяется

Для вставки знака корня вам необходимо в окне инструментов «Формула» нажать на кнопку «Шаблоны дробей и радикалов». Ее расположение вы можете наблюдать на изображении ниже.

Теперь в нужно выбрать соответствующий шаблон. После этого в поле для набора формул появится знак корня, а рядом с ним пустая ячейка, в которую можно вводить число. После того как число было введено, переключится на стандартный интерфейс программы можно, нажав левую кнопку мыши (ЛКМ) за пределами формы для ввода формул.

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Выводим формулу корней квадратного уравнения

Продолжим изучать формулу корней квадратного уравнения.

Пусть перед нами есть задача решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Выполним ряд равносильных преобразований:

• разделим обе части этого уравнения на отличное от нуля число a, после чего получим приведенное квадратное уравнение:
• выделим полный квадрат левой части нового уравнения:

  ,

  после чего уравнение примет вид

• перенесем два последних слагаемых в правую часть и сменим знак на противоположный:
• преобразуем выражение в правой части:

Так, мы пришли к уравнению , которое полностью равносильно исходному ax2 + bx + c = 0.

Отсюда выводы про корни уравнения :

И еще один вывод: есть у уравнения корень или нет, зависит от знака выражения в правой части

При этом важно помнить, что знак этого выражения задается знаком числителя. Потому выражение принято называть дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D

По значению и знаку дискриминанта можно сделать вывод, есть ли действительные корни у квадратного уравнения, и сколько.

Повторим:

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения

Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней

Алгоритм решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0:

• вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b2−4ac;
• если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
• если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = — b2/2a;
• если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4×2 + 28x — 49 = 0.

Как решаем:

1. Найдем дискриминант: D = 282 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
3. Найдем корень

   х = — 28/2(-4)

   х = 3,5

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6×2 = 0.

Как решаем:

1. Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

   54 — 6×2 = 0 | *(-1)

   6×2 — 54 = 0

2. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

   6×2 = 54

   х2 = 9

   х = ±√9

   х₁ = 3, х₂ = — 3

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x2— х = 0.

Как решаем:

1. Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

   х(х — 1) = 0

   х₁ = 0, х₂ = 1

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x2— 10 = 39.

Как решаем:

1. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

   x2— 10 = 39

   x2= 39 + 10

   x2= 49

   х = ±√49

   х₁ = 7, х₂ = −7

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3×2— 4x+94 = 0.

Как решаем:

1. Найдем дискриминант по формуле

   D = (-4)2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

2. Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Приходите решать примеры на бытовых ситуациях, с красочными героями и в интерактивном формате. Запишите вашего ребенка на бесплатный пробный урок в онлайн-школу Skysmart: познакомимся, покажем, как все устроено на платформе и наметим вдохновляющую программу обучения.

Примечания

1. Сканави М. И. Элементарная математика. П. 1.11. С. 49.
2. ↑ , с. 64.
3. Алгебраический (многозначный) корень в источниках часто называют просто корнем.
4. , Т. I, С. 35—36.
5. , с. 141—143.
6. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10—11 классов, под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 2002, С. 209.
7. ↑ , с. 183.
8. , Т. I, С. 194, 198.
9. , с. 236—238.
10. , Т. I, С. 215.
11. , Т. I, С. 233, частный случай для μ=1n.{\displaystyle \mu ={\frac {1}{n}}.}.
12. Не путать с кратными интегралами. Их записи весьма похожи, но k{\displaystyle k}-й интеграл является неопределённым, в то время как k{\displaystyle k}-кратный интеграл — определённый.
13. , Том I, стр. 67, 131—132, 164, 166—167.
14. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений / Под ред. С. А. Теляковского. — Изд. 18-е. — М.: Просвещение, 2011. — С. 53. — ISBN 978-5-09-025168-6.
15. , с. 36—37.
16. Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — С. 68. — 591 с.
17. ↑ , с. 96-99, 28—29.
18. Porteous, Ian R. Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge, 1995, page 60.
19. См., например: Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953, С. 212—219, или: Воеводин В., Воеводин В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
20. См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б. Построение графиков функций. М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
21. См., например: Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983, или: Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970.
22. , Том I, С. 42—46.
23. , Том I, С. 47.
24. , Том I, С. 169—171.
25. Башмакова И. Г. Становление алгебры (из истории математических идей). — М.: Знание, 1979. — С. 23. — (Новое в жизни, науке, технике. Математика, кибернетика, № 9).
26. , Том I, С. 275—276.
27. , Том I, С. 296—298.
28. , Том III, С. 56—59.
29. , Том III, С. 62.
30. Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей. — М.: Наука, 1978. — Т. I. — С. 58—66.
31. , Том I, С. 185.
32. Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. — М.: Наука, 1979. — С. 81. — 208 с. — (История науки и техники).
33. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 82. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.

Способы набора на пк и ноутбуке

Часто, чтобы поставить в текст радикал или запись с ним, используются сочетания букв. Sqrt, например, означает кв. корень, а cbrt – кубический. Но писать буквенные комбинации, слова неудобно. Кроме того, они не всем понятны.

Используем таблицу символов

Удобный инструмент, работающий в различных приложениях Microsoft Office, блокноте, – таблица символов.

Вызвать ее можно несколькими способами:

• набрать в строке поиска название приложение;
• вызвать командную строку сочетанием клавиш win + r, набрать charmap.exe. Вызов осуществляется, если последовательно кликнуть «пуск», «выполнить»;
• зайти в пуск, перейти в стандартные программы, затем – служебные, выбрать искомое приложение.

Далее найти значок корня, последовательно щелкнуть выделить, копировать и вставить в нужное место.

Код символа

Простой метод вставить корень – использовать код.

• включить цифровую клавиатуру, нажав NumLock;
• нажать alt и, удерживая клавишу, набрать 251 с цифрового блока.

В случае с ноутом сделать нужно так:

• внимательно посмотреть на клаву;
• найти на буквенной части цифры. Они находятся под буквами в правой части – 2 под английской K, 5 – под I, 1 – под J;
• включить функциональную клавишу, которая их активирует. Для этого кликнуть Fn и кнопку от F1 до F12 (зависит от ноутбука);
• нажать альт и 251 с активированной клавы.

При работе с документом html, в программировании используются следующие значения:

Значок корня в уравнении

В документе можно написать не просто радикал, но и целое уравнение со степенью, неизвестным составляющим.

• перейти во «Вставку»;
• открыть раздел формул;
• выбрать квадратное уравнение. Если нужен другой тип уравнения, вызвать функцию «вставить новую формулу»;
• заполнить значения, в том числе степень над элементом в левой его части. Она может быть третьей, пятой, седьмой – любой.

Самостоятельно уравнение с х, корнем из некоего числа записывается и через инструмент «Объект» в меню «Вставка». После нажатия на объект перейти в Microsoft equation 3.0, «Шаблоны дробей и радикалов». В открывшемся конструкторе записать уравнение.

Шестнадцатеричный код

Для включения элемента может использоваться шестнадцатеричная система Юникод.

• ввести кодовое значение. Квадратный корень обозначается 221A, кубический – 221B, четвертый – 221C. Буквы после цифр писать в латинской раскладке;
• одновременно выжать сочетание Alt+X.

Способы набора символа в ворде

Чтобы поставить радикал в документе word, можно использовать большинство описанных методов.

• скопировать элемент из другого текста, браузера, вставить;
• использовать код+alt, код шестнадцатеричной системы;
• через таблицу символов;
• с помощью встроенного редактора формул. Для этого нажимают на раздел «Вставка», выбирают «Формула», жмут на «Вставить новую формулу». Появится надпись «Место для формулы», а в верхней панели инструментов – конструктор математических знаков. Остается выбрать значок и подкоренное выражение. Можно сразу выбрать значок со степенью 2, 3, 4, 5, даже 6;
• через инструмент «Объект»;
• изобразить значок в графическом редакторе – нарисовать галочку, одну сторону продлить. Перенести картинку в документ.

Корни из произведения и частного

Перед тем как давать какие-либо новый формулы, напомню важный факт. Корень из суммы не равен сумме корней:

Иначе мы бы получили вот такие бредовые выкладки:

Вроде бы, капитаноочевидно, но многие даже в старших классах допускают такие ошибки.

А теперь разберём ещё два свойства корней.

2.1. Умножение и деление корней

Корни можно умножать и делить. Правила просты:

Примеры:

Попробуйте сами:

Задание 3. Найдите значение выражения:

Как видите, с помощью формул мы разбиваем сложный корень на несколько простых.

Мы знаем, то все формулы работают как слева-направо, так и справа-налево, поэтому корни можно «склеивать». При этом новый корень может легко вычисляться, хотя исходные части — не вычисляются вообще. Например:

Попробуйте повторить этот трюк:

Задание 4. Найдите значение выражения:

2.2. Проблемы с областью определения

Но есть одна тонкость. Взгляните, например, на формулу произведения корней:

Напомню: знак радикала обозначает арифметический квадратный корень, который извлекается только из неотрицательных чисел и сам является числом неотрицательным.

С левой стороны от знака равенства стоит один корень, а справа — целых два. Поэтому области определения левой и правой части этого равенства различны:

В чём конкретно состоит различие?

В первой строке мы видим произведение, поэтому неравенство (1) верно всякий раз, когда знаки множителей совпадают. В частности, оба множителя могут быть отрицательными, но их произведение всё равно будет положительным.

Вторая строка — система из двух неравенств, и здесь отрицательные числа нас уже не устроят. Вывод:

Красным я выделил ситуацию, которая допустима для корня из произведения, но становится недопустимой для произведения корней.

Поскольку любое равенство определено лишь тогда, когда определена и левая, и правая его части, дополним исходные правила специальными требованиями:

И вот в таком виде их уже можно использовать — везде и всегда!

Может показаться, что эти ограничения несущественны. Или искусственны. Чуть выше мы никак их не учитывали и всё прекрасно посчитали. Поэтому вопрос: когда ограничения области определения становятся существенным?

Ответ: когда под корнями стоят не конкретные числа, а переменные. К примеру, пусть даны числа:

Очевидно, что произведение двух отрицательных чисел будет положительным. И хотя корень из произведения будет определён, извлекать корни из отдельных множителей нельзя:

Значит, нужно сделать так, чтобы множители под корнем стали положительными. И тут нам на помощь приходит старое доброе число −1:

Добавление минусов к каждому из двух множителей нисколько не повлияло на произведение, но привело к возникновению двух новых множителей, каждый из которых уже точно положителен:

Помните об этом преобразовании, когда сталкиваетесь с произведением отрицательных выражений под знаком корня. Источником такой отрицательности могут быть условия задачи, либо следствия из области определения (такое часто встречается в логарифмических уравнениях и неравенствах, которые изучаются в 10—11 классах).

Ну а мы немного потренируемся и пойдём к третьей части урока — работе с переменными.

Задание 5. Найдите значение выражения:

Переходим к самому весёлому.:)

Способы набора на пк и ноутбуке

Часто, чтобы поставить в текст радикал или запись с ним, используются сочетания букв. Sqrt, например, означает кв. корень, а cbrt – кубический. Но писать буквенные комбинации, слова неудобно. Кроме того, они не всем понятны.

Используем таблицу символов

Удобный инструмент, работающий в различных приложениях Microsoft Office, блокноте, – таблица символов.

Вызвать ее можно несколькими способами:

• набрать в строке поиска название приложение;
• вызвать командную строку сочетанием клавиш win + r, набрать charmap.exe. Вызов осуществляется, если последовательно кликнуть «пуск», «выполнить»;
• зайти в пуск, перейти в стандартные программы, затем – служебные, выбрать искомое приложение.

Далее найти значок корня, последовательно щелкнуть выделить, копировать и вставить в нужное место.

Код символа

Простой метод вставить корень – использовать код.

Алгоритм на пк:

• включить цифровую клавиатуру, нажав NumLock;
• нажать alt и, удерживая клавишу, набрать 251 с цифрового блока.

В случае с ноутом сделать нужно так:

• внимательно посмотреть на клаву;
• найти на буквенной части цифры. Они находятся под буквами в правой части – 2 под английской K, 5 – под I, 1 – под J;
• включить функциональную клавишу, которая их активирует. Для этого кликнуть Fn и кнопку от F1 до F12 (зависит от ноутбука);
• нажать альт и 251 с активированной клавы.

При работе с документом html, в программировании используются следующие значения:

• &#8730 для квадратного корня;
• &#8731 – кубического;
• &#8732 – четвертого.

Значок корня в уравнении

В документе можно написать не просто радикал, но и целое уравнение со степенью, неизвестным составляющим.

Для этого:

• перейти во «Вставку»;
• открыть раздел формул;
• выбрать квадратное уравнение. Если нужен другой тип уравнения, вызвать функцию «вставить новую формулу»;
• заполнить значения, в том числе степень над элементом в левой его части. Она может быть третьей, пятой, седьмой – любой.

Самостоятельно уравнение с х, корнем из некоего числа записывается и через инструмент «Объект» в меню «Вставка». После нажатия на объект перейти в Microsoft equation 3.0, «Шаблоны дробей и радикалов». В открывшемся конструкторе записать уравнение.

Шестнадцатеричный код

Для включения элемента может использоваться шестнадцатеричная система Юникод.

Работает так:

• ввести кодовое значение. Квадратный корень обозначается 221A, кубический – 221B, четвертый – 221C. Буквы после цифр писать в латинской раскладке;
• одновременно выжать сочетание Alt+X.

Способы набора символа в ворде

Чтобы поставить радикал в документе word, можно использовать большинство описанных методов.

Среди них:

• скопировать элемент из другого текста, браузера, вставить;
• использовать код+alt, код шестнадцатеричной системы;
• через таблицу символов;
• с помощью встроенного редактора формул. Для этого нажимают на раздел «Вставка», выбирают «Формула», жмут на «Вставить новую формулу». Появится надпись «Место для формулы», а в верхней панели инструментов – конструктор математических знаков. Остается выбрать значок и подкоренное выражение. Можно сразу выбрать значок со степенью 2, 3, 4, 5, даже 6;
• через инструмент «Объект»;
• изобразить значок в графическом редакторе – нарисовать галочку, одну сторону продлить. Перенести картинку в документ.

Способ 2: Вставка уравнения

Если же ваша задача заключается не просто во вставке знака квадратного корня, а и в последующем написании полноценного примера или уравнения, действовать потребуется по иному алгоритму. Преимущество изложенного ниже подхода заключается еще и в том, что таким образом можно записать не только квадратный или кубический корень, но и любой другой, представленный в n-степени.

1. Откройте вкладку «Вставка» и нажмите в ней по расположенному справа пункту «Уравнение».

На странице документа появится область для ввода будущей записи, а на ленте – группа «Работа с уравнениями» и входящая в нее вкладка «Конструктор».

Как раз из последней и можно добавить интересующий нас знак корня – просто выберите его в группе «Символы». Рядом с кнопкой добавления квадратного есть также кубический и корень четвертой степени.

Если же требуется записать квадратный (с уточнением степени) или кубический корень, обозначение степени в котором будет пригодным для редактирования, обратитесь к расположенной правее кнопке c одноименным названием и выберите подходящий вариант.

В этом же меню можно найти символ для записи корня в n-степени,

которую потребуется указать вручную.

Также рекомендуем обратить внимание на стандартный набор формул и уравнений – вполне возможно, в нем найдется еще более подходящая для поставленных целей запись. Из этого же меню можно перейти к рукописному вводу арифметических выражений (отмечено цифрой 3 на скриншоте выше), которые будут распознаны программой и преобразованы в стандартный для уравнений текст

Из этого же меню можно перейти к рукописному вводу арифметических выражений (отмечено цифрой 3 на скриншоте выше), которые будут распознаны программой и преобразованы в стандартный для уравнений текст.

Узнать более подробно о встроенном в Ворд редакторе формул и особенностях его использования можно из представленных по ссылкам ниже статей.

Подробнее:Редактор формул в Ворде Как в Ворде записать формулу

Преимущество данного способа перед предыдущим заключается в том, что под знак корня, представленный в виде элемента уравнения/формулы, можно вписать любую цифру, букву и даже целый пример, а для самого элемента можно задать не только квадратную и кубическую, но и любую другую степень. Если же говорить о вставленном из набора символе, то он позволяет записывать значения только сразу за ним, но не под ним.

На телефоне

На клавиатуре большинства смартфонов также нет радикала. Есть он в калькуляторах, установленных на телефоны.

Проверить, если ли элемент на обычной клаве, можно, открыв любое приложение, где набирается текст. Перейдите в цифровой режим клавиатуры, внимательно просмотрите. Возможно, вы – счастливый обладатель такой модели смартфона, где есть специальные символы.

Если корня нет, предлагаем воспользоваться следующими способами:

• скопировать из текста, калькулятора;
• скачать в интернете клавиатурные приложения от сторонних производителей. Для этого необходимо, что смартфон находится онлайн, зайти в google play, подобрать утилиту.

Проверка физ лица по базе МВД онлайн

База МВД содержит информацию обо всех гражданах РФ, которые числятся в розыске, имеют судимости и привлекались по другим статьям. Доступ к базе данных ограничен, но сервис CheckLic, официально сотрудничая с МВД России может предоставить данные о судимостях любого гражданина по паспорту.

Чтобы проверить физ лицо на численность в базе МВД, следует ввести личные данные проверяемого в соответствующие поля, система автоматически отправит официальный запрос на получение информации, после чего вы увидите достоверную информацию о проверяемом лице.

Информация, полученная здесь, обновляется вместе с базой данных МВД, то есть в режиме реального времени. Поэтому, можете быть уверены, что все полученные вами данные актуальны на момент получения отчета.

Квадратные корни из натуральных чисел

Положительное число имеет два квадратных корня, один положительный, и отрицательный, которые противоположны друг другу. Когда речь идет о на квадратный корень из положительного целого числа, то, как правило , положительный квадратный корень , который имел в виду.

Квадратные корни из целого числа — это целые алгебраические числа, а точнее — квадратичные целые числа .

Квадратный корень из положительного целого числа — это произведение корней его простых множителей, потому что квадратный корень из произведения — это произведение квадратных корней из множителей. Поскольку необходимы только корни тех простых чисел, которые имеют нечетную степень при факторизации . Точнее, квадратный корень из разложения на простые множители равен
п2kзнак равнопk,{\ displaystyle {\ sqrt {p ^ {2k}}} = p ^ {k},}

п12е1+1⋯пk2еk+1пk+12еk+1…пп2епзнак равноп1е1…ппепп1…пk.{\ Displaystyle {\ sqrt {p_ {1} ^ {2e_ {1} +1} \ cdots p_ {k} ^ {2e_ {k} +1} p_ {k + 1} ^ {2e_ {k + 1}} \ dots p_ {n} ^ {2e_ {n}}}} = p_ {1} ^ {e_ {1}} \ dots p_ {n} ^ {e_ {n}} {\ sqrt {p_ {1} \ dots p_ {k}}}.}

В виде десятичных разложений

Квадратные корни из полных квадратов (например, 0, 1, 4, 9, 16) являются целыми числами . Во всех остальных случаях квадратные корни из положительных целых чисел являются иррациональными числами и, следовательно, имеют неповторяющиеся десятичные дроби в их десятичных представлениях . Десятичные приближения квадратных корней из первых нескольких натуральных чисел приведены в следующей таблице.

п	п,{\ displaystyle {\ sqrt {n}},} усечено до 50 знаков после запятой
1	1
2	1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694
3	1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038
4	2
5	2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152
6	2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667
7	2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245
8	2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389
9	3
10	3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521

Как расширения в других системах счисления

Как и раньше, квадратные корни из полных квадратов (например, 1, 4, 9, 16) являются целыми числами. Во всех остальных случаях квадратные корни из положительных целых чисел являются иррациональными числами и, следовательно, имеют неповторяющиеся цифры в любой стандартной позиционной системе обозначений .

Квадратные корни из малых целых чисел используются в схемах хэш-функций SHA-1 и SHA-2, чтобы ничего не дать мне в числах в рукаве .

Как периодические непрерывные дроби

Один из самых интригующих результатов изучения иррациональных чисел как цепных дробей был получен Джозефом Луи Лагранжем c. 1780. Лагранж обнаружил, что представление квадратного корня из любого положительного целого числа, не являющегося квадратом, в виде непрерывной дроби является периодическим . То есть определенный образец частичных знаменателей бесконечно повторяется в непрерывной дроби. В каком-то смысле эти квадратные корни являются простейшими иррациональными числами, потому что они могут быть представлены простым повторяющимся шаблоном целых чисел.

2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}	=
3{\ displaystyle {\ sqrt {3}}}	=
4{\ displaystyle {\ sqrt {4}}}	=
5{\ displaystyle {\ sqrt {5}}}	=
6{\ displaystyle {\ sqrt {6}}}	=
7{\ displaystyle {\ sqrt {7}}}	=
8{\ displaystyle {\ sqrt {8}}}	=
9{\ displaystyle {\ sqrt {9}}}	=
10{\ displaystyle {\ sqrt {10}}}	=
11{\ displaystyle {\ sqrt {11}}}	=
12{\ displaystyle {\ sqrt {12}}}	=
13{\ displaystyle {\ sqrt {13}}}	=
14{\ displaystyle {\ sqrt {14}}}	=
15{\ displaystyle {\ sqrt {15}}}	=
16{\ displaystyle {\ sqrt {16}}}	=
17{\ displaystyle {\ sqrt {17}}}	=
18{\ displaystyle {\ sqrt {18}}}	=
19{\ displaystyle {\ sqrt {19}}}	=
20{\ displaystyle {\ sqrt {20}}}	=

Квадратная скобка обозначение , используемое выше , является краткой формой для непрерывной дроби. Написанная в более сложной алгебраической форме, простая непрерывная дробь для квадратного корня из 11, , выглядит так:

11знак равно3+13+16+13+16+13+⋱{\ displaystyle {\ sqrt {11}} = 3 + {\ cfrac {1} {3 + {\ cfrac {1} {6 + {\ cfrac {1} {3 + {\ cfrac {1} {6+ {) \ cfrac {1} {3+ \ ddots}}}}}}}}}}}

где двузначный образец {3, 6} повторяется снова и снова в частичных знаменателях. Так как 11 = 3 2 + 2 , выше, также идентичен следующие :

11знак равно3+26+26+26+26+26+⋱знак равно3+620-1-120-120-120-120-⋱.{\ displaystyle {\ sqrt {11}} = 3 + {\ cfrac {2} {6 + {\ cfrac {2} {6 + {\ cfrac {2} {6 + {\ cfrac {2} {6+ { \ cfrac {2} {6+ \ ddots}}}}}}}}} = 3 + {\ cfrac {6} {20-1 — {\ cfrac {1} {20 — {\ cfrac {1} { 20 — {\ cfrac {1} {20 — {\ cfrac {1} {20- \ ddots}}}}}}}}}}.}

Способ 3: «Командная строка»

Применение

Разумный вопрос, который рано или поздно возникает у человека, только начавшего изучать математику – зачем вообще нужен квадратный корень? Конечно, он, может, никогда и не пригодится уборщице тёте Люсе или дворнику дяде Васе, но для более образованного человека квадратный корень всё же нужен.

Начнём с того, что квадратный корень нужен для вычисления диагонали прямоугольника. Ну и что с того? – спросят многие. А с того, что это нужно для качественного ремонта, чтобы правильно и аккуратно разложить линолеум, сделать навесной потолок и для проведения многих других работ в сфере строительства.

Ведь дома и квартиры строят люди, вещи и материалы для ремонта изготавливают люди, либо машины, которыми управляют опять-таки люди. А человеку свойственно ошибаться. Поэтому вычисление квадратного корня может существенно сэкономить нервы и деньги при ремонте какого-либо помещения.

Квадратный корень также необходим физикам, математикам, программистам и другим профессионалам, чья профессия связана с вычислениями и наукой. Без подобных знаний наука стояла бы на месте. Однако даже простому человеку никогда не помешают базовые знания о корне. Ведь эти знания развивают мозг, заставляют его работать, образуя новые нейронные связи. Чем больше знаний в голове – тем больше человек запомнит.